Gleichung(en) zur Berechnung der Kosten einer Einheit bei Demonworld (?)

Motivation und Vorbemerkung

Demonworld fing ich als Teenager an zu spielen – damals mit der ersten Edition. Ich spielte Isthak (im Wesentlichen, weil Zwerge schon „vergeben“ waren) – aber auch alle anderen Völker, ausgenommen Thain, hatten Spieler. Es herrschte bei uns hierbei Konsens, dass die Elfen „das beste“ Volk waren – einfach deshalb, weil dessen Spieler immer gewann. Auch heute sind die Elfen noch quasi unbesiegt – ich meine, einmal wurde ein Unentschieden erzielt. Meine These war freilich, dass die Elfen schlichtweg viel zu gute Einheiten haben. Besonders bei Tauros (den wir „He-Man“ nannten) und der Bel Ludain Ritter („Superreiterei“) war ich dieser Überzeugung.

Mein Gedanke als Oberstufenschüler damals war, die Gleichung, mit der die Punkte der Einheiten und Helden errechnet werden, mit Hilfe eines Gaußalgorithmus auflösen zu können. Hierbei überlegte ich, dass jeder Wert auf der Vorderseite der Rekrutierungskarte einen bestimmten Betrag an Punktekosten zur Folge haben sollte. Man hätte also eine Gleichung mit so vielen Unbekannten („N“), wie Eigenschaften auf der Rekrutierungskarte vorhanden sind. Die Punktekosten („PK“) würden damit folgender Gleichung folgen:

$$PK = E_{1} * x_{1} + E_{2} * x_{2} + … + E_{N} * x_{N}$$

E₁ könnte beispielsweise die Bewegungsreichweite darstellen. Wenn man nun so viele Einheiten oder Helden hat, wie es Unbekannte gibt (also die Anzahl N an Einheiten), so ließe sich das Gleichungssystem vermutlich auflösen. Dann würde ich die Punkte von He-Man und der Superreiterei errechnen und es wäre offenkundig, dass diese zu günstig sind. Das waren meine Gedanken. Heute habe ich einen etwas anderen Blick auf diese Sache und erkenne einige Schwächen meines Vorgehens. Dennoch schreite ich nun zur Tat und setze meine Gedanken von über 20 Jahren nun um – wenn auch verbessert, wie ich finde.

Welche Schwächen hatte mein damaliges Konzept?

1. Zum einen muss man sehen, dass die Überlegung, dass die Gleichung zur Ableitung der Punktekosten linear ist, nicht zwingend ist. Bei vielen Rollenspielen steigen die Kosten eines weiterer Fertigkeitspunkte progressiv an. Daher wäre es denkbar, dass die x-Faktoren meiner Gleichung einen Exponenten größer 1 aufweisen.
   Letztlich bin ich zum Ergebnis gekommen, diesen Gedanken zu verwerfen: Im Demonworld-Regelwerk der ersten Edition finden sich am Seite 136 Regeln, um DSA-Charaktere nach Demonworld zu konvertieren. Diese Ausführungen lassen eine lineare Beziehung wahrscheinlich werden – auch wenn Punktekosten nicht errechenbar sind.
2. Eine Gleichung der vorstehenden Art würde sich vermutlich nicht eindeutig lassen, da zum einen mehrere Lösungen existieren können (nämlich dann, wenn die Determinante der Matrix mit den E-Werten gleich null ist) und auch, weil die sich ergebenden Punktekosten gerundet sein dürften. Die Punktekosten aller Einheiten und Helden sind durch zehn teilbar. Es wäre es erstaunlich, wenn eine, wie auch immer gestaltete Gleichung immer Ergebnisse ausgibt, die durch zehn teilbar sind.
3. Vor allen Dingen ermöglicht eine derartige Gleichung keine Aussage darüber, ob der He-Man oder die Superreiterei gameistisch zu teuer sind (also eine normative Aussage). Sie beschreibt nur (deskriptiv) die Preisgestaltung und gestattet damit nur eine Aussage, ob diese Truppen konsistent zu allen anderen Helden oder Einheiten bepreist sind. Das Bepreisungssystem selbst kann aber konsistent unangemessen sein. Dies wäre zum Beispiel der Fall, wenn die Panzerung keinen Effekt auf die Punktekosten hätte – und zwar über alle Einheiten hinweg! Selbst wenn He-Man also konsistent bepreist wäre, kann er dennoch zu günstig sein, weil die Bepreisung bei Demonworld per se nicht sachgerecht ist.
4. Ergänzend ist es denkbar, dass besonders hohe oder besonders niedrige Werte spielmechanisch überproportional gut oder schlecht wären. Für Demonworld ist dies in für Angriffswürfe aller Regel nicht der Fall, da die finalen Werte praktisch ausnahmslos zwischen 1 und 20 liegen und mit einen W20 gewürfelt wird, was eine Gleichverteilung zur Folge hat.
5. Es ist nicht per se klar, dass eine ermittelte Gleichung für alle Völker konstant ist. Schließlich könnten völkerspezifische Synergien dazu führen, dass beispielsweise einzelne Einheiten für bestimmte Völker viel wertvoller sind – und daher höher bepreist werden sollten. Mit Blick darauf, dass bei Demonworld teilweise auch völkerübergreifend aufgestellt werden darf (Goblins-Orks, Zwerge-Imperium), sind völkerspezifische Gleichungen jedoch unwahrscheinlich.

Vor allem Punkt 3. ist von großer Relevanz. Mein Teenager-Ziel, den „Beweis“ zu erbringen, dass insbesondere He-Man zu günstig ist, ist mit dem vorgestellten Ansatz nicht lösbar. Nur eine (vermutete) inkonsistente Bepreisung wäre nachweisbar.

Punkt 2 lässt sich umgehen, indem man statt eines (deterministischen) Gauß-Algorithmus auf ein statistisches Schätzverfahren zurückgreift.

Eine Analyse, ob Völker (und deren Truppen), obgleich konsistent bepreist, trotzdem normativ „zu gut“ sind, erfordert entweder ein umfassendes Experiment, bei dem viele etwa gleich gute Spieler immer wieder mit unterschiedlichen Völkern gegeneinander spielen. Zeichnet sich nach zahlreichen Spielen ab, dass ein Volk (z.B. die Elfen) überdurchschnittlich oft siegt, wäre dessen regeltechnische Überlegenheit fast zwingend. Meine Teenager-Erfahrung hilft hier kaum, weil es auch denkbar ist, dass der Elfenspieler einfach der beste Spieler war.

Alternativ kann man modellhaft Spielsituationen simulieren. Auch dann kann sich zeigen, dass bestimmte Einheiten statistisch überlegen sind. Dieses Vorgehen hat aber Schwächen, weil Aspekte wie Magie oder eine hohe Mobilität bestenfalls unzureichend berücksichtigt werden. Will man diese Schwäche umgehen, landet man schnell beim vorstehenden Experiment.

Ich habe mich von all diesen Einwänden nicht abhalten lassen und versucht, sowohl für Helden als auch für Einheiten, die Gleichungen zur Berechnung von Punktekosten herzuleiten.

Die Kostenberechnung von Demonworld-Helden

Damit kommen wir zur Frage der Bepreisung von Tauros („He-Man“). Helden (und Befehlshaber; hier identisch verwendet) werden regelseitig anders gehandhabt als Einheiten. Daher muss eine spezielle Matrix (mit den „E’s“) für Helden aufgestellt werden. Hierbei betrachtete ich nur Helden ohne Fernkampfangriff, die über keine (weiteren) Sonderregeln verfügen und natürlich nicht auch gleichzeitig Magier sind. Derartige Helden können durch folgende regeltechnische Faktoren abschließend beschrieben werden:

• Befehlssterne (S)
• Nahkampfkampfkraft (KK)
• Initiative (Ini)
• Initiativabzug in der ersten Runde durch verwendete Waffe (ER)
• Größe (G)
• Panzerungswert (PW)
• Kontrollbereich (KB)
• Nahkampfwaffenfertigkeit (NKF)
• Furchtfaktor (FF)
• Trefferpunkte (TP)
• Fähigkeit, Feuer zu entfachen (F)
• Verursachter Schaden (SP)

Bewegungspunke für Helden eine Funktion der Größe und der Panzerung. Dies liegt daran, dass die im folgenden ausgewählten Helden für jede Größe nur eine Bewegungstabelle gilt (vgl. Demonworld-Regelwerk, 1. Edition, S. 137). Dies wäre anders, wenn einer der Helden ein Oger wäre, da für diese, obgleich Größe 3, eine andere Bewegungstabelle gilt als für Reiter (ebenfalls Größe 3).

Ergänzend ist zu beachten, dass ich die Größe von der Nahkampfkampfkraft und vom Nahkampfpanzerungswert subtrahiert habe. Zudem führte es dazu, dass die Panzerungswert für Nah- und Fernkampfpanzerung identisch wurden.

In beiden Fällen tat ich dies, um Multikollinearität (Korrelation der abhängigen Variablen) zu verhindern. Im Falle der Bewegung liegt habe ich vorab mit einer „Neben-Regression“ geprüft, ob Multikollinearität besteht und dies mit Blick auf das Ergebnis bejaht. Zudem sind die Schätzergebnisse ohne Bewegung als Parameter weit besser (auch, weil der Koeffizient für Bewegungspunkte negativ ist).

In einem nächsten Schritt durchsuchte ich die alten offiziellen Armeebücher nach Helden, welche die oben genannten Eigenschaften erfüllten. Ergänzend musste ich Skorrak entfernen, da er, obgleich Größe 3, die Bewegungstabelle eine Größe 2-Figur hat. Es ergaben sich folgende 16 Helden:

• Argam Rostbart
• Bradon die Axt
• Demar Tharuk
• Dungail Schmetterschlag
• Farran Rotpelz
• General Caliar Ildriel
• Gobbelsnut
• Groblogin Käferfreund
• Kanngrott Schädeltrümmerer
• Khelben
• Niehenwe die Blutdürstende
• Rolb
• Shertrak
• Trazzag
• Wahngrok der Schlächter
• Wudbin

Der Versuch der deterministischen Lösung

Wenn man daran glaubt, dass es tatsächlich eine Gleichung zum Errechnen der Punktekosten gibt, so hat man nun ein überbestimmtes Gleichungssystem: 16 Gleichungen für 12 Unbekannte – oder 13, wenn man eine Konstante aufnimmt. Dieses Gleichungssystem kann mit 12 (oder 13) Helden aufgestellt werden und besitzt dann (in Matrizenschreibweise) eine Determinante, die ungleich null ist. Daher hat das Gleichungssystem jeweils genau eine Lösung. Es zeigte sich allerdings, dass die Frage, welche der insgesamt 16 Helden ich für die Lösung meines Gleichungssystems verwende, einen erheblichen Effekt auf die Parametrisierung der Gleichung hat.

Dies ist bei Lichte betrachtet, und wie oben dargelegt, nicht verwunderlich – es wäre überraschend, wenn es eine Gleichung gäbe, die immer genau einen Punktwert ausgerechnet, der durch Zehn teilbar ist.

Die statistische Lösung

Daher führte ich im nächsten Schritt eine multivariate lineare Regression durch. Hierbei verwendete ich nunmehr alle 17 Helden um die 13 Unbekannten (und die Konstante) zu bestimmen. Ich errechnete folgende Parameter (alles im Folgenden auf zwei Nachkommastellen gerundet):

Variable	Koeffizient
Konstante	-124,89
S	25,55
KK	1,53
Ini	4,68
ER	0,44
G	8,83
PW	1,93
KB	-0,48
NKF	7,74
FF	2,05
TP	9,67
F	-4,32
SP	60,44

Diese Regressionsgleichung beschreibt die Punktekosten der Helden sehr gut. Für Argam Rostbart ergibt sich beispielsweise:

$$ PK = -124,89+25,55*2+1,53*9+4,68*2+0,44*(-1)\\ +8,83*1+1,93*3-0,48*16+7,74*3+\\ 2,05*1+9,67*4-4,32*0+60,44*1\\ = 80,25 $$

Die folgende Tabelle zeigt die errechnete Punktekosten und stellt diese den Punktekosten gemäß Rekrutierungskarte gegenüber.

	Punktekosten errechnet	Punktekosten laut Rekrutierungskarte	Differenz
Argam Rostbart	80,25	80	0,25
Bradon die Axt	147,45	150	-2,55
Demar Tharuk	132,55	130	2,55
Dungail Schmetterschlag	102,34	100	2,34
Farran Rotpelz	60,00	60	0,00
General Caliar Ildriel	86,27	90	-3,73
Gobbelsnut	58,04	60	-1,96
Groblogin Käferfreund	57,82	60	-2,18
Kanngrott Schädeltrümmerer	66,26	70	-3,74
Khelben	70,98	70	0,98
Niehenwe die Blutdürstende	71,10	70	1,10
Rolb	41,15	40	1,15
Shertrak	70,96	70	0,96
Trazzag	118,62	120	-1,38
Wahngrok der Schlächter	85,43	80	5,43
Wudbin	30,77	30	0,77

Die Regressionsgerade beschreibt die Bepreisung der Helden meines Erachtens sehr gut.

Exkurs: Ein paar Worte zur Güte der Schätzung aus statistischer Sicht Regressionen werden regelmäßig auf statistische Güte untersucht. Dies kann auch im vorliegenden Fall geschehen – ist aber inhaltlich fraglich: Da es sich nicht um Zufallsvariablen handelt, könnte die Untersuchung der Signifikanz der Koeffizienten per se als nicht sinnvoll betrachtet werden. Man „weiß“ schließlich, dass die Werte auf der Rekrutierungskarte die Punktekosten beeinflussen (sollten). Im Grunde nutze ich das Regressionsverfahren ja (gewissermaßen „missbräuchlich“) düfür, eine Gleichung aufzulösen. Ignoriert man diesen Einwand ist die Schätzung aus statistischer Sicht angreifbar. Die hohe Zahl der Parameter (13) und die geringere Zahl der Beobachtungen (16 Helden) sorgen dafür, dass viele Parameter nicht signifikant auf dem (üblichen) 5 %-Niveau geschätzt werden. Da im vorliegenden Fall ein Zusammenhang fast zwingend ist, setzte ich mich darüber hinweg. In der Gesamtschau ist die Schätzung augenscheinlich recht gut. Die diversen R²-Maße liegen mitunter über 0,99; das Schlechteste bei 0,97. Die F-Statistik zeigt ebenfalls einen hochsignifikanten Zusammenhang an. In diesem Fällen muss man aber auch wieder sehen, dass die große Zahl exogener Variablen hierzu beiträgt. Grundsätzlich besteht damit auch die Gefahr von Multikollinearität – da diese aber nach meinen Anpassungen nicht vorliegen sollte, habe ich hierauf nicht weiter getestet: Dass die Variablen exogen sind, habe ich zudem durch die Subtraktion der Größe von der Kampfkraft und der Nahkampfpanzerung versucht sicherzustellen. Gleiches gilt, wie oben dargelegt, für die Bewegung, die von der Größe und der Panzerung abhängig ist. Homoskedastizität setze ich voraus – bei 16 Beobachtungen kann man das kaum sinnvoll testen.

Die ermittelten Koeffizienten sind dennoch teilweise unplausibel. Dass ein größerer Kontrollbereich (KB) oder ein höherer Furchtfaktor zu einer Verminderung der Punktekosten führen soll, ist offensichtlich unangemessen. Aber auch der sehr hohe Koeffizient der Sterne wirkt auch mich zumindest unplausibel. Daher stellt sich für mich die Frage, ob die Festlegung der Punktekosten von Helden, obgleich in sich konsistent, grundlegend (auch insoweit auch konsistent) unangemessen ist.

Zwischenbetrachtung I

Die errechnete Gleichung ist Konsequenz der Werte für Helden in den offiziellen Armeebüchern. Dass z.B. ein höherer Furchtfaktor oder ein höherer Kontrollbereich die Kosten eines Helden vermindern ist zwar hochgradig irritierend – aber gleichwohl Ergebnis der Gleichung.

Dieser Befund lässt die Frage nach der Sinnhaftigkeit der Parameter aufkommen. Wie Eingangs geschildert, kann die Konsistenz der Bepreisung von Demonworld-Helden oder -Einheiten untersucht werden, nicht aber, ob die Prämissen dieser Bepreisung sachgerecht sind.

Bepreist man nun Tauros „He-Men“ entsprechend der Gleichung (und ignoriert seine zufällige Bewegung), so ergeben sich Kosten von 155,76 Punkten. Tauros kostet laut Regelwerk 140. Nimmt man an, dass seine (nachteilige) Zufallsbewegung 16 Punkte Rabatt „wert ist“, kommt man fast genau auf seine Kosten. Er wäre dann konsistent bepreist. Ich bin davon unbenommen aber subjektiv der Meinung, dass seine Zufallsbewegung keine 16 Punkt „wert“ ist.

Um einen Vergleich anzustellen, habe ich ergänzend Barsak den Verrückten bepreist. Auch er verfügt über einen Nachteil: Er ist ungestüm und entzieht sich damit, ähnlich wie Tauros, teilweise der Kontrolle des Spielers. Allerdings ist Ungestümtheit weit weniger gravierend als die Zufallsbewegung Tauros‘. Barsak kommt nach meiner Gleichung auf Punktekosten in Höhe von 84,62. Hierbei habe ich den Effekt aus der Ungestümtheit auf seine Kampfkraft und seine Initiative nicht bereinigt, weil ich den Effekt des fehlenden Steuerung durch den Spieler isolieren wollte. Da Barsak laut Armeebuch 70 Punkte kostet, schlüge seine Ungestümtheit mit 15 Punkten zu Buche – mehr als der Nachteil Taurus. Im Quervergleich ist Taurus damit als zu teuer oder Barsak als zu günstig zu beurteilen. Allerdings erscheinen mir auch hier die 18 Punkte „Rabatt“ als deutlich zu hoch.

Anders verhält es sich, wenn man bedenkt, dass sich weder Barsak noch He-Men einer Einheit anschließen können. Bei Barsak wird dies so geregelt, dass dies auf der Rückseite der Rekrutierungskarte angegeben ist und (deshalb) der Stern, der ihn auf der Vorderseite als Helden auszeichnet, in Klammern steht. Ich habe ihn für die Gleichung aber voll berücksichtigt, um 87,69 Punkte zu errechnen. Bei Tauros gibt es schlicht keinen Stern, so dass er sich (deshalb) keiner Einheit anschließen kann. Ergo wurde auch kein Stern berücksichtigt, um seine rechnerischen 155,76 Punkte zu ermitteln. Unterstellt man das Tauros einen Stern hat, so ergäben sich für ihn 181,31 Punkte – und der implizite Abschlag für seine Zufallsbewegung läge bei 41,31 Punkten. Das wäre zu der etwas weniger gravierenden Ungestümtheit Tauros (17,69 Punkte) zwar konsistent – erscheint mir aber subjektiv ein sehr hoher Rabatt für die Zufallsbewegung zu sein.

Die Kostenberechnung von Demonworld-Einheiten

Mein Vorgehen für die Demonworld-Einheiten war identisch zu dem der Helden. Ich habe Einheiten ohne Zusatzregeln gesucht und die folgenden Einheiten zur Bestimmung meiner Regressionsgraden finden können.

Wolfsschützen und Luthari Bogenschützen habe ich nicht betrachtet, da dies auch fernkämpfen können. Oger, gepanzerte Oger und Eisbärreiter schieden aus, weil sie, obgleich Größe 3, eine geringere Bewegung aufweisen (vgl. die schon erwähnte Bewegungstabelle). Bel Ludain Ritter aus dem entgegengesetzten Grund – ihre Bewegung war aber für ihre Größe und Panzerung „zu hoch“ (was an dem Mithrilrüstungen liegt, die eine geringeren Verminderung der Bewegung führen). Gleiches gilt für die Ponyreiter, die, obgleich Größe 2, die Bewegungstabelle der Reiterei nutzen.

Für jede der Einheiten habe ich die Kosten pro Element errechnet und diese ab abhängige Variable verwendet. So fanden folgende Einheiten Eingang:

• Adlige Lanzenreiter
• Adlige Sturmreiter
• Cailander Schwertkämpfer
• Clankrieger
• Clanveteranen
• Fußvolk
• Krieger vom Orden des reinigenden Lichtes
• Lanzenreiter
• Novizen vom Orden des reinigenden Lichtes
• Ordenskrieger der reinigenden Finsternis
• Ordensmeister
• Ordensritter der reinigenden Finsternis
• Ponyreiter
• Schwere Clankrieger
• Schwere Clanveteranen
• Schwertträger
• Torwachen
• Wolfsreiter

Folgende abhängige Variablen wurden für die Regression verwendet:

• Nahkampfkampfkraft (KK)
• Angriffsbonus (AB)
• Initiative (Ini)
• Initiativabzug in der ersten Runde durch verwendete Waffe (ER)
• Größe (G)
• Nahkampfpanzerungswert (NPW)
• Nahkampfwaffenfertigkeit (NKF)
• Furchtfaktor (FF)
• Erster Moralwert (M1)
• Zweiter Moralwert (M2)
• Anzahl der Manöver (M3)
• Anzahl der möglichen Formationen (AF)
• Vorhandensein eines Musikers (MK)
• Fähigkeit, Feuer zu entfachen (F)

Den Angriffsbonus habe ich um eins erhöht, falls in der ersten Runde eines Nahkampfes Lanzen eingesetzt werden (diese haben dann eine höhere Kampfkraft). Die Moralwerte habe ich jeweils um die Zahl der Elemente reduziert (dies hat regeltechnische Gründe). Nahkampfpanzerungswerte wurden wieder um die Größe reduziert. Da die Fernkampfpanzerung bei den Einheiten nicht identisch zu der um die Größe verminderte Nahkampfpanzerung war, habe ich für die Fernkampfpanzerung die Differenz zur dieser angepassten Nahkampfpanzerung ermittelt. Auch dies vor dem Hintergrund, Multikollinearität zu vermeiden.

Der Fernkampfpanzerungswert entspricht genau der Binärvariable für die Fähigkeit Feuer zu entfachen, wenn man diesen als Differenz zum Nahkampfpanzerungswert bestimmt (perfekte Multikollinearität). Da alle Einheiten einen Standardtenträger haben, konnte ich diese Variable nicht testen.

Mir ist klar, dass Vereinfachungen teilweise angreifbar sind. Auch könnte argumentiert werden, dass es nicht auf die Anzahl der Formationen ankommt, sondern auf die möglichen Formationen im Einzelnen. Zwecks Operationalisierbarkeit bin ich gleichwohl wie geschildert vorgegangen. Folgende Koeffizienten wurden abgeleitet:

Variable	Koeffizient
Konstante	-35,57
KK	0,88
AB	-0,50
Ini	8,75
ER	1,87
G	1,60
NPW	1,12
NKF	1,97
FF	6,17
M1	-0,19
M2	2,20
M3	2,18
AF	1,33
MK	-0,74
F	-0,27

Auch hier sind die statistischen Kennzahlen gut – und mit derselben Vorsicht zu genießen, wie bei den Helden. Für die untersuchten Einheiten werden folgende Punktekosten ermittelt:

	Punktekosten errechnet	Punktekosten pro Element gemäß Rekrutierungskarte	Differenz
Adlige Lanzenreiter	22,00	22,00	0,00
Adlige Sturmreiter	20,00	20,00	0,00
Cailanir Schwertkämpfer	30,00	30,00	0,00
Clankrieger	17,94	18,00	-0,06
Clanveteranen	25,06	25,00	0,06
Fußvolk	15,00	15,00	0,00
Krieger vom Orden des reinigenden Lichtes	25,01	25,00	0,01
Lanzenreiter	19,00	19,00	0,00
Novizen vom Orden des reinigenden Lichtes	16,25	16,25	0,00
Ordenskrieger der reinigenden Finsternis	19,99	20,00	-0,01
Ordensmeister	33,74	33,75	-0,01
Ordensritter der reinigenden Finsternis	27,01	27,00	0,01
Schwere Clankrieger	19,06	19,00	0,06
Schwere Clanveteranen	26,18	26,25	-0,07
Schwertträger	17,50	17,50	0,00
Torwachen	27,51	27,50	0,01
Wolfsreiter	16,99	17,00	-0,01

Auch hier werden die auf den Rekrutierungskarten wiederzufindenden Punktekosten sehr gut nachvollzogen.

Allerdings sind auch bei der Schätzung für die Einheiten unplausible Parameter vorhanden. Es ist offensichtlich unlogisch, dass ein höherer Angriffsbonus oder das Vorhandensein eines Musikers die Punktekosten reduzieren soll. Beim Angriffsbonus könnte ich mir vorstellen, dass hier eine schwache Multikollinearität eine Rolle spielt: Ich meine, der hängt mit der Panzerung zusammen – regelseitig ist dies meines Wissens jedoch nicht klar definiert. Ein Störgefühl bleibt aber.

Zwischenbetrachtung II

Die vorstehenden Vorbehalte gelten unverändert: Auch wenn die Schätzung „auf dem Papier“ sehr gut aussieht, sind einige, wenn auch nur wenige, Implikationen schlicht nicht der Spielrealität entsprechend. Davon unbenommen soll nun analog zur vorherigen Betrachtung eine Einheit, nämlich die „Superreiterei“ (Bel Ludain Ritter) auf Plausibilität bei der Bepreisung untersucht werden. Ein Element der Einheit würde gemäß der obenstehenden Gleichung 47,75 Punkte kosten. Es kostet aber tatsächlich nur 43,33 Punkte. Wie schon angesprochen ist allerdings die Bewegung der Superreiterei auch höher als sie sein „sollte“, wenn man die Bewegungstabelle heranzieht. Damit wird deutlich, dass die Bel Ludain Ritter inkonsistent günstig sind. Den die errechneten 47,75 Punkte gehen von 24 Bewegungspunkten beim Bewegenbefehl aus – die Einheit hat aber 32. Sie müsste jedoch schon mit nur 24 Bewegungspunkten rund 4,5 Punkte teurer sein!

Demgegenüber werden die Oger und gepanzerten Oger, die beide für ihre Größe von 3 „zu wenig“ Bewegungspunkte haben, von der Gleichung mit 16,98 Punkte pro Element (Oger) und 18,29 Punkten (Gepanzerte Oger) bepreist. Die Punktekosten laut Rekrutierungskarte liegen aber nur bei 16 und 19 Punkten. Die ergibt eine Abweichung von nur  plus 0,98 und minus 0,71 Punkten. Den Ogern „fehlen“ 24 Bewegungspunkte (beim B-Befehl) zu den 40 Bewegungspunkten, die ungepanzerte Reiter hätten. Beide Ogereinheiten sind daher relativ zu teuer. Ähnlich sieht es bei den Eisbärreitern aus. Diese sind ebenfalls Größe 3 und ungepanzert, haben aber nicht 40 sondern nur 24 Bewegungspunkte. Erwartbar wäre daher, dass auch hier die Gleichung zu hohe Punktekosten bestimmt. Dem ist so aber nicht: Währen die Kosten pro Element laut Rekrutierungskarte bei 18,75 Punkten liegt, ermittelt die Gleichung nur Kosten von 19,26 Punkten – und das trotz ihrer geringen Bewegungspunkte. Die Eisbärreiter sind daher im Quervergleich gesichert „zu teuer“.

Erweiterungen

Fernkampf

In einem nächsten Schritt habe ich mir die Frage gestellt, wie man Fernkampfeinheiten aufnehmen kann. Hierfür war es für mich naheliegend, die beiden Einheiten mit der Gleichung zu bepreisen, die ich vorher ausgeschlossen hatte: Die Wolfsschützen und die Luthari Bogenschützen.

Geht man so vor, so ergeben sich für die Wolfsschützen Punktekosten von 12,80 pro Element, wobei sich auf Basis der Rekrutierungskarte 12 pro Element ergeben. Für die Luthari Bogenschützen ergeben sich 32,55. Die Rekrutierungskarte ergibt 30 pro Element. Da meine Gleichung keinen Fernkampf beachtet, bedeutet dies, dass bei den Wolfsschützen die Fähigkeit zum Fernkampf fast „kostenlos“ ist (nur 0,80 Punkte) und bei den Luthari Bogenschützen negativ bepreist wurde: Die Fähigkeit zum Fernkampf reduziert die Kosten pro Element um 2,55 Punkte. Diese Ergebnisse sind verstörend. Ich habe daher weitere Fernkampfeinheiten betrachtet. Ohne weitere Sonderregeln stehen zur Verfügung:

Volk	Einheit	Punktekosten errechnet	Punktekosten pro Element gemäß Rekrutierungskarte	Differenz
Imperium	Adlige Schützen (Armbrust)	20,47	21,00	0,53
Imperium	Adlige Schützen (Langbogen)	20,47	21,00	0,53
Imperium	Armbrustschützen	13,88	16,00	2,12
Orks	Armbrustschützen	12,36	14,00	1,64
Orks	Bogenschützen	13,50	12,00	-1,50
Orks	Plänkler	14,34	14,00	-0,34
Zwerge	Plänkler	17,70	19,00	1,30

Die ermittelten Punktedifferenzen sind insgesamt unplausibel. Zum einen stellt sich die Frage, warum diese negativ sind – wo doch die Fähigkeit zum Fernkampf einen höheren Preis rechtfertigen würde. Zum anderen sind die Fernkampf-Spielwerte der drei Armbrusteinheiten genau gleich. Die Mehrkosten variieren aber von 0,53 bis 2,12.

Ich stelle daher fest, dass mein Methode an ihr Ende kommt. Gründe hierfür könnten sein:

1. Fernkampfeinheiten werden anders als Nahkampfeinheiten bepreist – vielleicht sogar negativ.
2. Meine Schätzung ist schlecht.

Zwischenbetrachtung III

Aber auch bei den Nahkampfeinheiten muss gesehen werden, dass ich nur 19 Einheiten untersuche und 17 Parameter betrachte. Es kann daher gut sein, dass meine Schätzung nur für meine Einheiten gute Ergebnisse liefert, sonst aber nicht. Die geringer Stichprobengröße sollte aber eine untergeordnete Rolle spielen, wenn der Zusammenhang de facto gar nicht stochastisch, sondern deterministisch ist. Ich zwecksentfremde nur statistische Verfahren zur Herleitung des deterministischen Zusammenhangs „Punktekostengleichung bei Demonworld“. Folgt man dem, so gibt es entweder keine solche Gleichung – oder sie wird nicht konsistent angewendet. Im Ergebnis würde dies bedeuten, dass die Festsetzung der Punktekosten bei Demonworld vermutlich aus „dem hohlen Bauche“ heraus erfolgt. Hierfür spricht auch die augenscheinlich völlig erratsiche Bepreisung bei Fernkampfeinheiten.

Einfluss der „Errata“

Demonworld wird mittlerweile als Community-Projekt weitergeführt. Interessant ist es daher zu sehen, ob die hiermit verbundenen Änderungen an den ursprünglichen Regeln eine Verbesserung mit sich brachten.

Um dies zu untersuchen, habe ich die vorstehende Analyse wiederholt – nur diesmal mit den Werten der vorstehenden Helden aus dem sog. Errata zum 31. Dezember 2019.

Es ergaben sich die folgenden Parameter und Punktekosten:

Variable	Koeffizient
Konstante	-124,89
S	25,55
KK	1,53
Ini	4,68
ER	0,44
G	8,83
PW	1,93
KB	-0,48
NKF	7,74
FF	2,05
TP	9,67
FF	-4,32
SP	60,44

Farran Rotpelz hat nun einen Angriffsbonus von 1, der aber keine Rolle in der Gleichung spielt, da ebenfalls (nur bei ihm) eine 1 bei „Kein Feuer“ steht – die beiden Parameter sind daher für alle Helden gleich und stellen keine Zusatzinformationen zur Verfügung.

In der Gleichung auf Basis der Errata-Werte fließt der Furchtfaktor negativ ein, was unangemessen ist. Dafür ist der Kontrollbereich nun mit einen positiven Koeffizienten versehen. Die Zahl der Sterne spielt eine weniger große Rolle, die Kampfkraft und die Initiative-Kennzahlen dafür eine wichtigere.

	Punktekosten errechnet	Punktekosten laut Rekrutierungskarte	Differenz
Argam Rostbart	81,36	80	1,36
Bradon die Axt	148,59	150	-1,41
Demar Tharuk	131,41	130	1,41
Dungail Schmetterschlagt	98,09	100	-1,91
Farran Rotpelz	60,00	60	0,00
General Caliar Ildriel	88,21	90	-1,79
Gobbelsnut	65,26	70	-4,74
Groblogin Käferfreund	48,50	50	-1,50
Kanngrott Schädeltrümmerer	66,92	70	-3,08
Khelben	70,13	70	0,13
Niehenwe die Blutdürstende	68,75	70	-1,25
Rolb	45,18	40	5,18
Shertrak	74,61	70	4,61
Skorrak	58,44	60	-1,56
Trazzag	121,48	120	1,48
Wahngrok der Schlächter	83,10	80	3,10
Wudbin	29,96	30	-0,04

Für mich wirken die Zahlen nicht per se „besser“ oder „schlechter“. Für die Errate-Werte spricht aber, dass die höchte errechnete Differenz etwas niedriger ist. Daher ist die implizte Bepreisung von Helden nach den Errata-Regeln konsitenter. Die Standardabweichung der Differenzen ist jedoch etwas höher.

Mein persönlicher Freund Tauros wird nun nur noch mit 122,20 Punkte bepreist (ohne Stern; mit Stern 137,90), was andeuten würde, dass er mit 140 Punkte sogar zu teuer ist – und zwar ohne, dass ein Abzug für seine Zufallsbewegung zum Tragen kam! Barsak soll dafür 79,87 Punkte zu haben sein, was einen Rabatt in Höhe von knapp zehn Punkten für seine Ungestümtheit mit sich bringt. Das ist höchst unschlüssig und stellt die Angemessenheit der Bepreisung von Helden basierend auf den Errata-Werten in Frage.

Bei den Einheiten fällt auf, dass die Errata die Oger schneller gemacht haben – diese für Größe drei aber immer noch „zu langsam“ sind – im Vergleich zur Reiterei, weshalb sie nicht mit in die Betrachtung einfließen. Es ergeben sich folgende Parameter:

Variable	Koeffizient
Konstante	-16,00
KK	0,29
AB	0,19
Ini	4,44
ER	0,40
G	2,90
NPW	1,54
NKF	3,12
FF	-0,64
M1	-2,07
M2	2,57
M3	-1,58
AF	-0,76
MK	-2,28
F	0,17

Folgende Punktekosten ergeben sich für die Einheiten:

	Punktekosten errechnet	Punktekosten pro Element gemäß Rekrutierungskarte	Differenz
Adlige Lanzenreiter	24,12	24,00	0,12
Adlige Sturmreiter	18,67	19,00	-0,33
Cailanir Schwertkämpfer	31,67	31,67	0,00
Clankrieger	17,79	18,00	-0,21
Clanveteranen	25,08	25,00	0,08
Fußvolk	15,00	15,00	0,00
Krieger vom Orden des reinigenden Lichtes	24,75	25,00	-0,25
Lanzenreiter	18,77	19,00	-0,23
Novizen vom Orden des reinigenden Lichtes	16,15	16,25	-0,10
Ordenskrieger der reinigenden Finsternis	20,35	20,00	0,35
Ordensmeister	34,21	33,75	0,46
Ordensritter der reinigenden Finsternis	26,54	27,00	-0,46
Schwere Clankrieger	19,33	19,00	0,33
Schwere Clanveteranen	26,62	26,25	0,37
Schwertträger	17,50	17,50	0,00
Torwachen	30,69	31,25	-0,56
Wolfsreiter	17,44	17,00	0,44

Bei Einheiten ist die Bepreisung gemäß der Errate weniger konsistent; die Abweichungen liegen schon augenscheinlich höher; auch die Standardabweichung ist größer.

Vor allem aber sind nach der Errate-Gleichung für Helden einge Parameter offensichtlich unangemessen bzw. noch unangemessener als zuvor: Nunmehr fließt die Zahl der Formationen und Manöver mit einen negativen Koeffizient in die Bepreisung ein; der negativen Faktore eines Musikers ist nochmal größer. Demgegenüber ist der Angriffsbonus nun nicht mehr negativ und die fehlende Fähigkeit Feuer zu machen ist ebenfalls plausibel bepreist.

Insgesamt scheint mir die Gleichung nach Errata an dieser Stelle inkonsistenter und weniger belastbar, als die Gleichung vor Errata.

Nach meiner Befassung mit den Daten wundert mich das nicht: Die Änderungen durch die Errate sind augenscheinlich nicht erklärbar: Wird ein Held oder eine Einheit etwas besser, so findet nur manchmal eine andere Bepreisung statt. Die Anpasssungen wirken aber unschlüssig. Die folgende Übersicht gibt Beispiele für Helden:

Held	Änderung 1	Änderung 2	Änderung 3	Änderung Punkte
Bradon die Axt	KK +1	–	–	-20
General Caliar Ildriel	KK +1	FKP +1	+Sonderfertigkeit	+10
Gobbelsnut	KK -1	FF +1		-10
Trazzag	KK +1	NKF +2	FF +1	0

Mein subjektiver Eindruck beim Vergleich der Werte ist, dass diese in den Errata nach Gefühl verändert wurden.

Aber immerhin: Die Bel Ludain Ritter kommen nach der Gleichung für die Errata auf Punktekosten pro Element von 39,15. Mit Blick auf ihre höhere Bewegung könnten die Punktekosten gemäß Rekrutierungskarte in Höhe von 43,33 damit angemessen sein.

Für die Oger ergäben sich 24,25 Punkte pro Hex; für die gepanzerten Oger 27,86. Die Kosten belaufen sich laut Rekrutierungskarte auf 17, bzw. 19 Punkte. Damit wurde auch hier, dem Grunde nach richtig, der Nachteil der geringeren Bewegung mit einem Rabatt vergolten.

Zudem: Für die Bel Ludain Ritter hat jeder zusätzliche Punkt in der Bewegung einen implizten Punktewert in Höhe von rund 0,7. Für die Oger und gepanzerten Oger sind es rund 0,45 und 0,74. Die 0,7 und 0,74 liegen recht nahe beieinander; die 0,45 sind mit Blick auf die abschließende Runde der Punktekosten von Einheiten auf voll Zehn auch vertretbar. Insofern also eine Verbesserung.

Auch die Fähigkeit zum Fernkampf wird nach Errate durchweg postiv bepreist. Die Armbrustwerte liegen aber so weit auseinander, dass sie nicht plausibel sind (Mehrkosten zwischen 1,1 und 4,92 pro Element).

Schlussbetrachtung

Um diesen Beitrag zu schreiben habe ich zahlreiche Rechnungen vorgenommen – was man hier sieht, ist nur der „letzte Stand“. Dabei fielen mir methodische Unzulänglichkeiten auf – die ich aber löste oder hinnahm (oder nicht bemerkte). Nach langem Überlegen bin ich zudem zu dem Schluß gelangt, dass mein Ansatz, für einen vermutet determinischen, aber unbekannten Zusammenhang, eine statistische Regression anzuwenden, hier akzeptabel ist.

Allein, nach all den Analysen komme ich zu dem Ergebnis, dass es einen deterministischen Zusammenhang wohl nicht gibt: Meine Gleichungen erklären die verwendete Stichprobe immer recht gut – liefern bei der Übertragung auf andere Einheiten aber oft nicht mehr brauchbare Ergebnisse. Sobald man Fernkampfeinheiten betrachtet, wird dies offenbar. Zudem sind einige Koeffizienten offensichtlich unplausibel.

Meine Schätzungen dürften daher überspitzt vergleichbar sein mit der Schätzung der Körpergröße von Menschen, wobei ich genau so viele Parameter habe, wie meine Stichprobe beträgt. Wenn ich nun einen Menschen aus dieser Stichprobe messe, so springt eine Logik-Variable für diesen Menschen auf 1 und alle anderen Variablen betragen null. Damit habe ich meine Stichprobe toll beschrieben – kann aber die Körpergröße von Menschen außerhalb meiner Stichprobe nicht bestimmen. So schlimm ist es bei mir nicht, aber in die Richtung könnte es schon gehen.

Gäbe es den Eingangs von mir vermuteten (und im Grunde, so finde ich, auch gerechtfertigt geforderten) Zusammenhang, so müsste jede Variable ein plausibles Vorzeichen aufweisen (das Vorhandensein eines Musiker also die Punktekosten der Einheit erhöhen und nicht vermindern) und meine Schätzungen auch für Einheiten und Helden außerhalb meiner Stichprobe (immer) plausible Ergebnisse liefern. Das ist aber nicht so. Ergo gibt es meines Erachtens keine allgemeingültige lineare Gleichung zum Bepreisen von Demonworld-Einheiten.

Wie Eingangs erläutert, könnte natürlich die gesuchte Gleichung auch nicht-linear sein. Nach all meinen Überlegungen halte ich dies aber für ausgeschlossen. So etwas überlegen sich die Macher eines Regelwerkes nicht. Ich halte es schon für unwahrscheinlich, dass die Macher des Regelwerks überhaupt alles bedachten, was ich schrieb. Bestenfalls normativ könnte die Gleichung nicht-linear sein. Dann wäre sie aber praktisch nicht deskreptiv ermittelbar, weil die de facto-Bepreisung von Demonworld-Helden und -Einheiten vermutlich nicht genau dieser gamistisch idealen Gleichung folgt.

Etwas enttäuscht stelle ich daher fest, dass die Demonworld-Bepreisung von Einheiten offenbar unsystematisch erfolgt – oder, weniger höflich formuliert, zu einem gewissen Grad beliebig ist. Das Errata macht es, im Rahmen dieser Analyse nicht besser – hier werden zwar für Einheiten außerhalb der Stichprobe bessere Schätzungen abgegeben, die Gleichung ist aber dafür (noch) unplausibler: Basierend auf den Ergebnissen hier sind die Punktekosten zwar etwas konsistenter, aber auch konsistent unangemessen. Man könnte aber optimistisch davon ausgehen, dass die Errata-Änderungen aufgrund empirischer Evidenz erfolgt sind. Ob das so ist, weiß ich nicht. Diese wöge aber weit schwerer, als die deskripitve Analyse hier und wäre ein Schritt in Richtung der normativ-gameistisch-richtigen Gleichung.

Ich vermute, der Mangel eines konsistenten „Punktekostensystems“ ist bei jedem System vorhanden: Weil der Spielehersteller beim Schreiben des Regelwerkes nicht wissen kann, welche Kosten für eine Fähigkeit gameistisch angemessen sind, muss er schätzen. Spätere Anpassungen führen aber nicht, zumindest nicht ersichtlich oder zwingend, zu Veränderungen an anderer Stelle für vergleichbare Fähigkeiten. Ich halte es nach dem Schreiben dieses Beitrags für völlig abwegig, dass für komplexere Systeme als Demonworld (und das dürften die meisten Tableotop-Systeme sein) eine Punktegleichung aufgestellt wurde – nur um diese bei der ersten Anpassung des Regelwerkes zu verwerfen.

Ergänzung 2. Juli 2023: Ich wurde gebeten, noch eine explizite Antwort auf die Frage zu geben, ob die Elfen denn nun zu günstig für ihre Fähigkeiten sind. Mit Blick auf alles Vorstehende ist diese Frage wohl (so) nicht beantworten. Rekuriert man aber, im Wissen die Bepreisung vermutlich ohnehin unsystematisch ist, auf den Teil, der noch als systematisch gelten könnte (Einheiten ohne Fernkampf und Helden), so sind jedenfalls die Superreiterei und Tauros im Orginalsystem zu günstig. Beim Regelwerk nach Beachtung des sog. Errata ist der systematische Teil nochmals deutlich kleiner. Der Rest zeigt aber keine Überpreisung an. Die Superreiterei wäre konsistent bepreist, He-Man zu teuer. Letztere Erkenntnis dürfte aber dem unsystemtischen Teil zuzuordnen (d.h. die Bepreisung ist einfach erratisch) und nicht belastbar sein.